std::beta, std::betaf, std::betal

 

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midpoint (C++20)

lerp (C++20)

泛型数值运算

iota (C++11)

accumulate

inner_product

adjacent_difference

partial_sum

位操作

bit_cast (C++20)

byteswap (C++23)

has_single_bit (C++20)

bit_ceil (C++20)

bit_floor (C++20)

bit_width (C++20)

rotl (C++20)

rotr (C++20)

countl_zero (C++20)

countl_one (C++20)

countr_zero (C++20)

countr_one (C++20)

popcount (C++20)

endian (C++20)

 

数学特殊函数

assoc_laguerreassoc_laguerrefassoc_laguerrel  assoc_legendreassoc_legendrefassoc_legendrel betabetafbetal comp_ellint_1comp_ellint_1fcomp_ellint_1l comp_ellint_2comp_ellint_2fcomp_ellint_2l comp_ellint_3comp_ellint_3fcomp_ellint_3l cyl_bessel_icyl_bessel_ifcyl_bessel_il

cyl_bessel_jcyl_bessel_jfcyl_bessel_jl  cyl_bessel_kcyl_bessel_kfcyl_bessel_kl cyl_neumanncyl_neumannfcyl_neumannl ellint_1ellint_1fellint_1l ellint_2ellint_2fellint_2l ellint_3ellint_3fellint_3l expintexpintfexpintl

hermitehermitefhermitel laguerrelaguerreflaguerrel legendrelegendreflegendrel riemann_zetariemann_zetafriemann_zetal sph_besselsph_besselfsph_bessell sph_legendresph_legendrefsph_legendrel sph_neumannsph_neumannfsph_neumannl

 

在标头 <cmath> 定义
	(1)
float       beta ( float x, float y ); double      beta ( double x, double y ); long double beta ( long double x, long double y );			(C++17 起) (C++23 前)
/* 浮点类型 */ beta( /* 浮点类型 */ x, /* 浮点类型 */ y );			(C++23 起)
float       betaf( float x, float y );		(2)	(C++17 起)
long double betal( long double x, long double y );		(3)	(C++17 起)
额外重载
在标头 <cmath> 定义
template< class Arithmetic1, class Arithmetic2 > /* 公共浮点类型 */ beta( Arithmetic1 x, Arithmetic2 y );		(A)	(C++17 起)

1-3) 计算 x 和 y 的 Β 函数。标准库提供所有以无 cv 限定的浮点类型作为参数 x 和 y 的类型的 std::beta 重载。 (C++23 起)

A) 为算术类型的所有其他组合提供额外重载。

参数

x, y

-

浮点或整数值

返回值

如果没有发生错误，那么返回 x 和 y 的 beta 函数值，即 \(\int_{0}^{1}{ {t}^{x-1}{(1-t)}^{y-1}\mathsf{d}t}\)∫1
0tx-1
(1-t)(y-1)
dt，或等价地为 \(\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\)

Γ(x)Γ(y)

Γ(x+y)

。

错误处理

可能报告 math_errhandling 中指定的错误。

• 如果任一参数是 NaN，那么返回 NaN 且不报告定义域错误
• 仅要求函数在 x 与 y 均大于零的情况有定义，并且允许在其他情况下报告定义域错误。

注解

不支持 C++17，但支持 ISO 29124:2010 的实现在定义了 __STDCPP_MATH_SPEC_FUNCS__ 为至少 201003L 的值，且用户在包含任何标准库头文件前定义了 __STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__ 时也会提供此函数。

不支持 ISO 29124:2010 但支持 TR 19768:2007 (TR1) 的实现也会在标头 tr1/cmath 及命名空间 std::tr1 中提供此函数。

此函数的一种实现参考 boost.math。

std::beta(x, y) 等于 std::beta(y, x)。

当 x 和 y 都是正整数时，std::beta(x, y) 等于 \(\frac{(x-1)!(y-1)!}{(x+y-1)!}\)

(x-1)!(y-1)!

(x+y-1)!

。

二项式系数可用 Β 函数表示：\(\binom{n}{k} = \frac{1}{(n+1)B(n-k+1,k+1)}\)⎛
⎜
⎝n
k⎞
⎟
⎠=

1

(n+1)Β(n-k+1,k+1)

。

额外重载不需要以 (A) 的形式提供。它们只需要能够对它们的第一个实参 num1 和第二个实参 num2 满足以下要求：

如果 num1 或 num2 具有 long double 类型，那么 std::beta(num1, num2) 和 std::beta(static_cast<long double>(num1),           static_cast<long double>(num2)) 的效果相同。 否则，如果 num1 和/或 num2 具有 double 或整数类型，那么 std::beta(num1, num2) 和 std::beta(static_cast<double>(num1),           static_cast<double>(num2)) 的效果相同。 否则，如果 num1 或 num2 具有 float 类型，那么 std::beta(num1, num2) 和 std::beta(static_cast<float>(num1),           static_cast<float>(num2)) 的效果相同。

(C++23 前)

如果 num1 和 num2 具有算术类型，那么 std::beta(num1, num2) 和 std::beta(static_cast</* 公共浮点类型 */>(num1),           static_cast</* 公共浮点类型 */>(num2)) 的效果相同，其中 /* 公共浮点类型 */ 是 num1 和 num2 的类型中浮点转换等级和浮点转换子等级最高的浮点类型，整数类型的实参被视为具有与 double 相等的浮点转换等级。 如果不存在等级和子等级最高的浮点类型，那么在重载决议时不会从提供的重载中产生可用的候选。

(C++23 起)

示例

运行此代码

#include <cassert>
#include <cmath>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <numbers>
#include <string>
 
long binom_via_beta(int n, int k)
{
    return std::lround(1 / ((n + 1) * std::beta(n - k + 1, k + 1)));
}
 
long binom_via_gamma(int n, int k)
{
    return std::lround(std::tgamma(n + 1) /
                      (std::tgamma(n - k + 1) * 
                       std::tgamma(k + 1)));
}
 
int main()
{
    std::cout << "帕斯卡三角形：\n";
    for (int n = 1; n < 10; ++n)
    {
        std::cout << std::string(20 - n * 2, ' ');
        for (int k = 1; k < n; ++k)
        {
            std::cout << std::setw(3) << binom_via_beta(n, k) << ' ';
            assert(binom_via_beta(n, k) == binom_via_gamma(n, k));
        }
        std::cout << '\n';
    }
 
    std::cout << "\n检查点：\n" << std::setprecision(19);
    long double p = 0.123; // [0, 1] 中的随机值
    long double q = 1 - p;
    long double π = std::numbers::pi_v<long double>;
    std::cout << "beta(p, 1-p) = " << std::beta(p, q) << '\n'
              << "π / sin(π*p) = " << π / std::sin(π * p) << '\n';
}

输出：

帕斯卡三角形：
 
                  2 
                3   3 
              4   6   4 
            5  10  10   5 
          6  15  20  15   6 
        7  21  35  35  21   7 
      8  28  56  70  56  28   8 
    9  36  84 126 126  84  36   9 
 
检查点：
beta(p, 1-p) = 8.335989149587307836
π / sin(π*p) = 8.335989149587307834

参阅

tgammatgammaftgammal (C++11)(C++11)(C++11)

gamma 函数 (函数)

外部链接

Weisstein, Eric W. “ Β 函数。” 来自 MathWorld--A Wolfram Web Resource。