std::assoc_legendre, std::assoc_legendref, std::assoc_legendrel

 

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bit_floor (C++20)

bit_width (C++20)

rotl (C++20)

rotr (C++20)

countl_zero (C++20)

countl_one (C++20)

countr_zero (C++20)

countr_one (C++20)

popcount (C++20)

endian (C++20)

 

数学特殊函数

assoc_laguerreassoc_laguerrefassoc_laguerrel  assoc_legendreassoc_legendrefassoc_legendrel betabetafbetal comp_ellint_1comp_ellint_1fcomp_ellint_1l comp_ellint_2comp_ellint_2fcomp_ellint_2l comp_ellint_3comp_ellint_3fcomp_ellint_3l cyl_bessel_icyl_bessel_ifcyl_bessel_il

cyl_bessel_jcyl_bessel_jfcyl_bessel_jl  cyl_bessel_kcyl_bessel_kfcyl_bessel_kl cyl_neumanncyl_neumannfcyl_neumannl ellint_1ellint_1fellint_1l ellint_2ellint_2fellint_2l ellint_3ellint_3fellint_3l expintexpintfexpintl

hermitehermitefhermitel laguerrelaguerreflaguerrel legendrelegendreflegendrel riemann_zetariemann_zetafriemann_zetal sph_besselsph_besselfsph_bessell sph_legendresph_legendrefsph_legendrel sph_neumannsph_neumannfsph_neumannl

 

在标头 <cmath> 定义
	(1)
float       assoc_legendre ( unsigned int n, unsigned int m, float x ); double      assoc_legendre ( unsigned int n, unsigned int m, double x ); long double assoc_legendre ( unsigned int n, unsigned int m, long double x );			(C++17 起) (C++23 前)
/* 浮点类型 */ assoc_legendre( unsigned int n, unsigned int m, /* 浮点类型 */ x );			(C++23 起)
float       assoc_legendref( unsigned int n, unsigned int m, float x );		(2)	(C++17 起)
long double assoc_legendrel( unsigned int n, unsigned int m, long double x );		(3)	(C++17 起)
额外重载
在标头 <cmath> 定义
template< class Integer > double      assoc_legendre ( unsigned int n, unsigned int m, Integer x );		(A)	(C++17 起)

1-3) 以参数 x 计算 n 次 m 阶关联勒让德多项式。标准库提供所有以无 cv 限定的浮点类型作为参数 x 的类型的 std::assoc_legendre 重载。 (C++23 起)

A) 为所有整数类型提供额外重载，将它们当做 double。

参数

n	-	多项式的次数，无符号整数值
m	-	多项式的阶数，无符号整数值
x	-	参数，浮点或整数值

返回值

如果没有发生错误，那么返回 x 的关联勒让德多项式 \(\mathsf{P}_n^m\)Pm
n 的值，即 \((1 - x^2) ^ {m/2} \: \frac{ \mathsf{d} ^ m}{ \mathsf{d}x ^ m} \, \mathsf{P}_n(x)\)(1-x2
)m/2

dm

dxm

P
n(x)（其中 \(\mathsf{P}_n(x)\)P
n(x) 是非关勒让德多项式 std::legendre(n, x)）。

注意此定义忽略 Condon-Shortley 相位项 \((-1)^m\)(-1)m
。

错误处理

可能报告 math_errhandling 中指定的错误

• 如果参数是 NaN，那么返回 NaN 且不报告定义域错误
• 如果 |x| > 1，那么可能发生定义域错误
• 如果 n 大于或等于 128，那么行为由实现定义

注解

不支持 C++17，但支持 ISO 29124:2010 的实现在定义了 __STDCPP_MATH_SPEC_FUNCS__ 为至少 201003L 的值，且用户在包含任何标准库头文件前定义了 __STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__ 时也会提供此函数。

不支持 ISO 29124:2010 但支持 TR 19768:2007 (TR1) 的实现也会在标头 tr1/cmath 及命名空间 std::tr1 中提供此函数。

此函数的一种实现可参考 boost::math::legendre_p boost.math，除了 boost.math 定义包含 Condon-Shortley 相位项。

前几个关联勒让德多项式是：

• assoc_legendre(0, 0, x) = 1
• assoc_legendre(1, 0, x) = x
• assoc_legendre(1, 1, x) = (1-x2
)1/2

• assoc_legendre(2, 0, x) =

  1

  2

  (3x2
  -1)
• assoc_legendre(2, 1, x) = 3x(1-x2
)1/2

• assoc_legendre(2, 2, x) = 3(1-x2
)

额外重载不需要以 (A) 的形式提供。它们只需要能够对它们的整数类型实参 num 确保 std::assoc_legendre(int_num1, int_num2, num) 和 std::assoc_legendre(int_num1, int_num2, static_cast<double>(num)) 的效果相同。

示例

运行此代码

#include <cmath>
#include <iostream>
 
double P20(double x)
{
    return 0.5 * (3 * x * x - 1);
}
 
double P21(double x)
{
    return 3.0 * x * std::sqrt(1 - x * x);
}
 
double P22(double x)
{
    return 3 * (1 - x * x);
}
 
int main()
{
    // 点检查
    std::cout << std::assoc_legendre(2, 0, 0.5) << '=' << P20(0.5) << '\n'
              << std::assoc_legendre(2, 1, 0.5) << '=' << P21(0.5) << '\n'
              << std::assoc_legendre(2, 2, 0.5) << '=' << P22(0.5) << '\n';
}

输出：

-0.125=-0.125
1.29904=1.29904
2.25=2.25

参阅

legendrelegendreflegendrel (C++17)(C++17)(C++17)

勒让德多项式 (函数)

外部链接

Weisstein, Eric W. “关联勒让德多项式”来自 MathWorld--A Wolfram Web Resource 。